Technische Rechner
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Lineare Interpolation
Anweisungen:
Überprüfen Sie die Methodik , um sicherzustellen, dass sie den Anforderungen Ihres Projekts entspricht.
Tragen Sie die Werte für den bekannten Punkt (x 1 , y 1 ) ein.
Tragen Sie die Werte für den bekannten Punkt (x 2 , y 2 ) ein.
Füllen Sie entweder x oder y aus
Klicken Sie auf die Schaltfläche Interpolieren
Lesen Sie mehr über Interpolation in unserem neuesten Blogbeitrag
Methodik, Gleichungen und Beispiele
Die lineare Interpolation ist eine numerische Methode zur Kurvenanpassung oder zur Schätzung von Werten zwischen zwei bekannten Datenpunkten auf einer Geraden. Es handelt sich um eine grundlegende Form der Interpolation, die eine lineare Beziehung zwischen den gegebenen Datenpunkten voraussetzt. Wenn Sie einen Satz von Datenpunkten haben, die keine glatte Kurve bilden, sondern auf einer Geraden liegen, können Sie die Werte an Punkten zwischen den gegebenen Datenpunkten mithilfe der linearen Interpolation schätzen. Diese Methode geht davon aus, dass die Beziehung zwischen den Datenpunkten linear ist, und füllt die fehlenden Werte entsprechend aus.
Lineare Interpolation wird häufig in verschiedenen Bereichen verwendet, beispielsweise in der Mathematik, Computergrafik, Datenanalyse und im Ingenieurwesen. Sie ermöglicht eine einfache und schnelle Annäherung an fehlende oder Zwischenwerte, insbesondere wenn die Datenpunkte auf einer geraden Linie liegen. Für komplexere Kurven oder wenn eine glattere Anpassung erforderlich ist, können jedoch andere Interpolationsmethoden, beispielsweise die Spline-Interpolation, besser geeignet sein.
Um eine lineare Interpolation durchzuführen, benötigen wir zwei benachbarte Datenpunkte, nennen wir sie (x1, y1) und (x2, y2), wobei x1 < x2 ist. Das Ziel besteht darin, den Wert eines unbekannten Punkts (x, y) zu schätzen. Die Gleichungen für die lineare Interpolation lauten:
y = y1(x2-x)/(x2-x1) + y2(x-x1)/(x2-x1)
Beachten Sie, dass (x - x1) die Distanz zwischen dem unbekannten Punkt und dem ersten Datenpunkt darstellt, (x2-x) die Distanz zwischen dem zweiten Datenpunkt und dem unbekannten Punkt und (x2 - x1) die Distanz zwischen den beiden Datenpunkten. Indem wir das Verhältnis dieser Distanzen berechnen, können wir die Position des unbekannten Punkts entlang der Linie bestimmen, die die beiden Datenpunkte verbindet. Das Ergebnis ist eine Schätzung des Werts des unbekannten Punkts, basierend auf der Annahme einer geraden Linie zwischen den beiden benachbarten Datenpunkten.
Es ist wichtig zu beachten, dass bei der linearen Interpolation eine lineare Beziehung zwischen Datenpunkten vorausgesetzt wird, die nicht immer genau sein muss, insbesondere wenn die Daten komplexere Muster aufweisen. In solchen Fällen können Spline-Interpolation oder andere anspruchsvollere Methoden verwendet werden, um genauere Ergebnisse zu erzielen. Die lineare Interpolation ist jedoch eine einfache und schnelle Methode zum Schätzen von Werten innerhalb eines bestimmten Bereichs basierend auf einer geradlinigen Näherung.
Beispiel :
Angenommen, Sie möchten die Gesamtkühlleistung einer 5-Tonnen -Bryant®-Kompakteinheit berechnen. Ein Auszug aus der Leistungsdatentabelle des Geräts unter Auslegungsbedingungen wird bereitgestellt. Für unser Szenario lauten die Auslegungsbedingungen:
Kondensator-Lufteintrittstemperatur: 79 °F
Feuchtkugeltemperatur am Eintritt in den Verdampfer: 63 °F
Lösung:
Verwenden Sie für die Lösungen 1, 2 und 3 die folgenden Eingaben, die in der Tabelle bereitgestellt werden:
y 1 = 55,04 MBtuh
y 2 = 52,59 MBtuh
x 1 = 75 °F
x 2 = 85 °F
und der Wert von x wird wie folgt angegeben:
x = 79 °F
Lösung 2 :
Lösen Sie y mithilfe der angegebenen Gleichung auf:
y = y1(x2-x)/(x2-x1) + y2(x-x1)/(x2-x1)
= 55,04(85-79)/(85-75) + 52,59(79-75)/(85-75)
= 54,06 MBtuh
Lösung 3:
Um das Problem mit dem linearen Interpolationsrechner zu lösen, geben Sie die angegebenen Eingaben ein. Das Ergebnis wird unten im Rechner als 54,06 MBtuh angezeigt.
Lösung 1:
Um die Gesamtkühlleistung bei einer Kondensator-Lufteintrittstemperatur von 26 °C und einer Feuchtkugeltemperatur am Verdampfereintritt von 16 °C grafisch zu ermitteln, stellen Sie die angegebenen Informationen in einem Diagramm dar.
Zeichnen Sie (x1, y1) auf, wobei aus der Leistungsdatentabelle x1=75 °F und y1=55,04 MBtuh die Gesamtkapazität bei 75 °F ist.
Zeichnen Sie (x2, y2) auf, wobei aus der Leistungsdatentabelle x2=85 °F und y2= 52,59 MBtuh die Gesamtkapazität bei 85 °F ergibt.
Zeichnen Sie eine gerade Linie zwischen diesen beiden Punkten. Nennen wir diese Linie die „Steigung“.
Zeichnen Sie eine vertikale Linie bei x=79oF.
Zeichnen Sie eine horizontale Linie vom Schnittpunkt der vertikalen Linie bei 26 °C mit der Steigung zur y-Achse. Der Schnittpunkt dieser Linie ist der y-Wert. In unserem Beispiel beträgt der y-Wert etwa 54 MBtuh . Das bedeutet, dass die Gesamtkühlleistung bei einer Kondensatoreintrittstemperatur von 26 °C durch lineare Interpolation etwa 54 MBtuh beträgt.
Die lineare Interpolation wird in verschiedenen Bereichen häufig aus folgenden Gründen verwendet:
Datenapproximation: Lineare Interpolation ermöglicht die Schätzung von Werten zwischen bekannten Datenpunkten und liefert so eine glatte Approximation der zugrunde liegenden Daten. Dies ist besonders nützlich, wenn wir nur wenige Datenpunkte haben und Werte an Zwischenpositionen ableiten möchten.
Datenvisualisierung: Beim Darstellen von Daten in einem Diagramm oder einer Tabelle kann lineare Interpolation verwendet werden, um fehlende oder unvollständige Datenpunkte zu ergänzen. Dies trägt zu einer kontinuierlicheren und optisch ansprechenderen Darstellung der Daten bei.
Funktionsapproximation: Lineare Interpolation ermöglicht die Approximation einer Funktion anhand diskreter Datenpunkte. Das Verhalten der Funktion zwischen den Datenpunkten lässt sich durch Verbinden der Punkte mit Geraden abschätzen. Dies ist besonders nützlich, wenn die Funktion nicht explizit bekannt oder schwer zu berechnen ist.
Zeitreihenanalyse: Lineare Interpolation wird in der Zeitreihenanalyse häufig angewendet, um fehlende Werte in einer Datenpunktfolge zu ergänzen. Durch die Schätzung der fehlenden Werte anhand benachbarter bekannter Werte lässt sich die Zeitreihe genauer darstellen, was zuverlässigere Analysen und Prognosen ermöglicht.
Numerische Methoden: Die lineare Interpolation bildet die Grundlage verschiedener numerischer Methoden und Algorithmen. Sie wird häufig als Baustein für komplexere Interpolationsverfahren wie die kubische Spline-Interpolation verwendet.